Rationale Zahlen (normale Brüche) sind abzählbar, d.h. äquivalent der Menge der natürlichen Zahlen.

Die folgende Darstellung orientiert sich an A.Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre, dritte Auflage 1928, Springer Verlag Berlin, S.32 f.

Darstellung rationaler Zahlen als abzählbar, d.h. äquivalent der Menge der natürlichen Zahlen. Oder genauer: Die rationalen Zahlen lassen sich eineindeutig den natürlichen Zahlen zuordnen und somit (per Index) 'abzählen'. Sie haben folglich nach Cantor (dem Begründer der Mengenlehre) die gleiche Unendlichkeit (oder die gleiche Mächtigkeit), wie die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen 1,2,3,...

...oder in der Schreibweise von Cantor:

die Kardinalzahl “Aleph-Null”:    À_o 

____________________________________________________ 

Sei eine natürliche Zahl s gegeben, z.B. s=7. So gibt es folgende Zahlenpaare natürlicher Zahlen (ohne die Null), die addiert =7 ergeben:

6+1, 5+2, 4+3, 3+4, 2+5, 1+6. Es wird also bei der ersten Zahl die Reihenfolge hergestellt von 6 bis 1 und bei dem zweiten Summanden die umgekehrte Reihenfolge von 1 bis 6.

Wenn man diese Zahlenpaare als Brüche anordnet, ergibt sich:

Hat man jetzt (beispielsweise) die Zahl s=8, so ergeben sich analog folgende Brüche:

   ,

wobei zu bemerken ist, daß beispielsweise  gekürzt werden kann zu  .

Es ist klar, daß es zu jeder solchen Zahl s nur endlich viele solcher Brüche gibt, da man im Zähler von s aus rückwärts bis zur 1 geht. Und da s ja eine bestimmte (endliche) natürliche Zahl ist, kann die Anzahl der Brüche ebenfalls nur endlich sein, nämlich s-1 . Außerdem sind mit jener Methode jeweils alle Paare natürlicher Zahlen erfaßt, die als Summanden die natürliche Zahl s ergeben. Zu jedem beliebigen Bruch mit natürlichen Zahlen im Zähler und Nenner läßt sich somit sein zugehöriges s bestimmen. Hat man etwa den Bruch 2/5, so ist das zugehörige s=7.

Die rationalen Zahlen sind nun folgendermaßen definiert: Es sind prinzipiell alle Brüche mit natürlichen Zahlen im Zähler und im Nenner. Negative rationale Zahlen sind mit einem Minuszeichen vor jenen (positiven) Brüchen versehen.  Es sind also bei den positiven rationalen Zahlen:

erstens: alle Kombinationen der 1 im Zähler mit allen möglichen natürlichen Zahlen im Nenner

zweitens: alle Kombinationen der 2 im Zähler  mit allen möglichen natürlichen Zahlen im Nenner

drittens: alle Kombinationen der 3 im Zähler mit allen möglichen natürlichen Zahlen im Nenner

usw.

Für die negativen rationalen Zahlen wird einfach vor jene Kombinationen ein Minuszeichen gesetzt.

Nun aber zur entscheidenden Frage:

Wieso kann man jetzt ausnahmslos alle möglichen rationalen Zahlen in einer abzählbaren Zahlenreihe erfassen?

In der Tat hat man ja durch das obige Verfahren beispielsweise   die folgenden Zahlenpaare mit dem Zähler 1 erfaßt: also

usw.

Das also war die 1 im Zähler. Wie ist es mit der 2 und der 3 usw. im Zähler?

Um es systematischer darzulegen, eignet sich das folgende Schema:

s=1 ->

s=2 -> 

s=3 -> 

s=4  ->

s=5 -> 

s=6 -> 

s=7 -> 

s=8 -> 

 usw,

Man sieht also immer ganz rechts die 1 im Zähler. (Bis auf oben bei s=1 die 0 als sinnvoller Spezialfall, nämlich die erste rationale Zahl). Dabei werden

ab s=2 alle Kombinationen mit 1 im Zähler abgearbeitet: 1+1, 1+2, 1+3 usw.

Ab s=3 werden alle Kombinationen mit 2 im Zähler abgearbeitet: 2+1 (bei s=1), 2+2 (bei s=4), 2+3 (bei s=5) usw.

Ab s=4 mit 3 im Zähler,

Ab s=n mit n-1 im Zähler,

das Ganze endlos weiter, sodaß alle natürlichen Zahlen im Zähler mit diesem Schema erfaßt werden.

Somit werden - aufgrund dieses Schemas - für jede natürliche Zahl im Zähler alle möglichen Kombinationen an natürlichen Zahlen des Nenners abgearbeitet. Hiermit ist offenbar alles erfaßt an möglichen Kombinationen von Zähler und Nenner bzgl. natürlicher Zahlen. Folglich sind durch jenes Schema prinzipiell alle positiven rationalen Zahlen erfaßt. Die negativen erhält man durch einfaches Voranstellen des Minuszeichens.

Wie kann man aber nun abzählen?

Man zähle einfach das obige Schema ab. Bei s=4 kommt man beispielsweise auf die Index-Zahl 7 als Endergebnis, nämlich bei . Und bei   (bei s=5) käme man auf die Index-Zahl 10.

Es existieren zwei Komplikationen dieses schönen Modells (es wurde ja oben deswegen schon mal der Ausdruck 'prinzipiell' gebraucht):

1. die negativen Zahlen.

Um diese in das Schema zu integrieren wird den obigen Zahlen einfach jeweils ein Minus vorangestellt und jene negativen Brüche werden sodann neben die positiven Brüche gereiht: also bespielsweise 2/3, daneben dann -2/3. Bei der Index- Abzählung würde somit alles verdoppelt: man käme also bei s=4 eigentlich auf die Index-Zahl 13 statt auf 7 für den letzten Bruch. Dummerweise 13 statt 14, weil die 1. rationale Zahl, die Null, nicht nochmal gezählt werden darf, wenn man keine Doppelten haben will. (Die Null ist weder positiv noch negativ, sie ist ‘neutral’). Jene Verzweifachung (minus 1) würde aber an der Abzählbarkeit des Ergebnisses nix ändern. - Und darum geht es ja eigentlich: es wurde ein Schema gefunden, anhand dessen sich diese Brüche abzählen lassen.

2. kürzen.

Im Eingangsbeispiel für s=8 wurde darauf hingewiesen, daß  beispielsweise gekürzt werden kann zu  .  Beim obigen Schema taucht aber  schon bei s=4 als letzter Bruch auf. Somit ist die Zahl                

                                                         ,

die in s=8 auftaucht, schon in s=4 enthalten. Es ist einleuchtend, daß alle solche Kürzungen schon in einem kleineren s gegeben sind, da nun die Summe von Zähler und Nenner kleiner geworden ist. Wie eben hier: es ist 1+3=4, also ist s=4 zuständig. (Anm.: Hat man einen negativen Bruch, so werden dennoch Zähler und Nenner als positiv betrachtet und sodann addiert, um zum zuständigen s zu kommen.)

Gleichwohl ändert dies nichts an dem zu beweisenden Sachverhalt. Denn daß man nun noch etliche dieser Brüche 'kürzen' kann (um nun wirklich rein nur die rationalen Zahlen ohne Doppelte zu erhalten), ist eigentlich eine nebensächliche Angelegenheit bzgl. der Abzählbarkeit: es ergeben sich lediglich weniger Brüche, dadurch aber sind sie sozusagen 'erst recht' abzählbar.

Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen (kurz: der einfachen Brüche mit natürlichen Zahlen im Zähler und Nenner - zusätzlich noch das Minuszeichen für die negativen rationalen Zahlen) zeigt, daß die Menge der rationalen Zahlen zu der Menge der natürlichen Zahlen äquivalent ist: es ist eine eineindeutige Zuordnung beider aufeinander möglich. Wiewohl man denken würde, daß doch die Anzahl jener Brüche bei Weitem größer ist. Denn jene Brüche enthalten ja die natürlichen Zahlen als Teilmenge, nämlich  als

                                                    , ….. usw.

Aber es ist ein typisches Merkmal von unendlichen Mengen, daß sie selber wieder eigentliche (echte) Teilmengen enthalten können, die ihnen äquivalent sind. (Definition von Dedekind, lt. Fraenkel S.24).

[Home] [Philosophen] [Marx] [Plato] [Adorno] [Projekt Argumentation] [Mathematik] [00-Spießer-Demokratie] [div. SPEZIAL-THEMEN] [Links]